人工智能（AI）能写诗、能作画，却没人能说清它内部发生了什么。它越强大，越像一个谜。这个谜，要到哪里去找答案？
10月28日下午，第十七期“浦江科学大师讲坛”在复旦大学相辉堂举行。2002年菲尔兹奖得主、法国科学院院士、华为（法国）拉格朗日数学与计算研究中心高级专家洛朗·拉福格（Laurent Lafforgue），以“与格罗滕迪克同行，重新审视点、函数与空间——对人工智能的一点初步思考”为题，与上海市高校及中学师生代表面对面交流，分享他近年来借助格罗滕迪克拓扑斯理论探索新型人工智能形式的思考。
2002年，拉福格因在数论和代数几何方面的突出贡献荣获菲尔兹奖，他发展了德林费尔德开创的希图卡方法，证明了正特征整体函数域上任意秩GLₙ的朗兰兹对应；近年来，他的研究逐渐转向格罗滕迪克的拓扑斯理论，并以此为基础探索新型人工智能形式的构建。
复旦大学校长、中国科学院院士金力出席讲坛并为拉福格颁发“浦江科学大师讲坛”主讲科学家纪念证书，复旦大学校长助理、中国科学院院士彭慧胜主持讲坛。上海市政协科技和教育委员会、市科委、市科协、市科技党委、市教委以及复旦大学各职能部门和院系的相关负责人、上海市高校及中学师生代表等出席活动。
能否用数学“看透”AI
自动翻译、自动写作、图像识别与生成，无疑，如今的AI的内容产出是高效的，但令人困惑的是，但我们尚不理解AI为什么能做到？
拉福格以大语言模型（LLM）为例：文本其实是词元的连续输出。如果将每个词元用一串数字即“向量”表示，调整词元的排列顺序，就产生了新的词元序列，也即新的段落、新的文本。问题在于，这些向量不来自任何物理测量，“对数学家来说甚至是任意的”。
拉福格将AI视为“智力活动的工业化”。18、19世纪的工业革命时期，生产效率的提升建立在工程师对理论、对自然规律的理解之上。而今天，AI算法背后的数学原理是简单的，却依赖巨大算力，整体来看，我们始终没有一套成熟、完备的文本理论。“对于数学家来说，这一点尤其令人不满意。”他说。
现场也有同学提问：“如果有足够多的数据，AI是否能在没有显式定义数学结构的情况下，自行学习底层的连续几何结构？”拉福格认为，大语言模型只是一种计算文本连续性概率的工具，它把各种可能性建议出来，也就是在某一词元后面出现哪个词元的概率更高或更低。
因为AI学习的数据都是基于真人创造的文本，所以它无法看到或理解，尚未被人类语言捕捉到的新数学现实。
这也提示了AI与数学的双向关系：数学家的文本是AI的源头，AI也会反过来改变数学被书写的方式。回看二十世纪甚至更早的数学文献，写作风格与今天截然不同——文学色彩更浓；现代数学这种结构严谨、命题条理分明的规范化写作，是由布尔巴基学派推动、后被全球采纳的结果。
拉福格猜想，受AI影响，数学家的写作方式乃至研究范式或许会迎来转变，传统风格可能重新回归。“这也是我的期许。”他认为，数学这门学科不会因AI消亡，但或许会因此重拾文学、哲学特质，也有可能诞生全新的范式。
用生活经验，理解数学概念
“数学概念在生活中给人以亲近感，我认为这是一个奇迹。”拉福格说。
一些听起来抽象的概念，其实和我们的生活经验相通。拉福格以“覆盖”为例：房屋由一块又一块的砖头覆盖、衣服由一片又一片布料覆盖……“覆盖”就是把小的零部件组合成更大的事物，我们几乎时时刻刻能体会到这个概念。
“覆盖”这一概念也蕴含在文本的自然特性中：词元连成文本，一个短文本可以不断延长成更长的文本，每一种“继续写下去”的结果，都是短文本的覆盖目标。比如“今天天气”后面可以接“很好”或“晴朗，适合出游”……每一句更长的文本都是它的延拓。
换言之，“覆盖”意味着没有遗漏任何文本延拓的可能性，而格罗滕迪克把“所有文本+它们之间所有延拓关系”整体打包，形成一个结构——每个文本是这个空间里的一个“点”，文本怎么从短到长，就是点与点之间的关系，这个结构就是“拓扑斯（topos）空间”。
“拓扑斯比此前数学中的一切空间概念都更宽泛，又足以分类各类结构。”拉福格强调了“以新视角看经典主题”在数学研究中的分量：盖尔范德曾把空间与空间上的连续数值函数关联起来，实现从空间理论到代数理论的跨域转换；格罗滕迪克把“连续数值函数”换成“集合值连续函数”，并发现它与“集合值层”这一乍看完全不同的概念等价。“层”概念随后被推至更广的语境。
数学的“无用之用”
拉福格借用一位中国数学家的生动比喻：纯数学和应用数学，如同黑白交融的阴阳图，二者互相渗透，你中有我、我中有你。对此，他举了一个例子进行解释，正如法国数学家伽罗瓦所建立的有限域理论，曾被视为极度抽象的纯数学理论长达150年，几乎看不到实际用途。可现在，随着现代信息技术的发展，该理论已成为WiFi通信的底层基础，与每个人的生活息息相关。
这告诉我们：数学的应用何时到来，我们无从预知，它可能在很多年之后才释放价值。
讲座现场，有听众提问：如何高效学习数学？拉福格直言没有简单的标准答案，他认为即使如今AI功能强大，但学习数学依旧是非常传统的事，书面表达与计算实操能力格外重要。尝试解决问题时，首先应该把它写下来，就像对一个完全不了解数学的人讲解时那样——仔细、清晰、简洁、优美地写下证明过程。
拉福格还特别提到，许多法国教授对中国学生评价很高：刻苦勤奋，知识储备扎实，治学严谨，十分尊重师长。但他们也提出一点小小的遗憾：中国学生不太敢于提问，有时是因为对老师过于恭敬。
“不过近几个月我观察到一个现象：学生可以先向AI提问，AI的反馈会给学生信心，这是AI带来的积极影响。”因此，拉福格建议学生们：多提问，哪怕提出难度很高的问题，“教授其实是会对此感到欣喜的”。
10月30日，拉福格将在上海参加世界顶尖科学家论坛。“它的一大特色就是跨学科交流，我多次参加这一论坛。”在他看来，在推动跨学科交流这件事上，中国学术界走在了世界前列。
“跨学科难度很高，但值得尝试。”他认为，汇聚人类各个知识领域的研究者，让大家有机会进行对话，这本质上也是大学设立的初衷。
“我在法国的家里有一本非常珍爱的书，讲的是中国思想史。”拉福格介绍，这本书的作者程艾兰（Anne Cheng）生于巴黎的一个中国家庭，曾留学复旦大学，后来在法国最负盛名的高等教育机构之一法兰西公学院教授中国思想。
拉福格还特别提到弗朗索瓦·于连的论述：欧洲思维偏向想方设法完成目标，中国思想更侧重优化整体条件，条件成熟，结果自至。这也让拉福格联想到格罗滕迪克研究数学的方式：不是专门解决某个问题，而是改变理解和解决问题的整体框架。“他不是中国人，却同样以这种改善整体环境的思路进行着数学研究。”
拉福格常对中国数学学子说：“即便做数学研究，也不要忽视文学。文学在法国文化中分量很重，在中国也是如此。我相信文学素养在未来会变得愈发重要。”